Вот пришло и моё время задуматься о приобретении воздухоочистителя,близость проживания с дорогой даёт о себе знать.Сейчас много кто предлагает предлагает такую продукцию,но я сделал свой выбор в пользу интернет магазина FreshVozdux и не прогадал.Сработали быстро,оформил заказ,звонок курьера и через пару часов я с чистым воздухом.Выбрал себе модель очистителя SHARP KC-A61RW,я вообще к SHARP не ровно дышу,у меня и холодильник шарповский много годков работает и воздухоочиститель не подведёт.
Рекомендую
20.06.2017 в 10:45
Татьяна
положительный
Пришлось отказаться от кондиционера из-за постоянных болезней, но дышать воздухом из открытого окна почти невозможно, рядом трасса. Купила в магазине очиститель Мицубиси Электрик, привезли без предоплаты, помогли с установкой, рассказали как пользоваться. Отличный сервис! Качеством очистителя довольна, воздух теперь как в лесу. Работает не громче холодильника, совершенно не мешает. Даю 5 баллов и магазину, и очистителю.
Очень довольны
16.06.2017 в 11:20
Юлия
положительный
Приобрели в этом магазине очиститель воздуха TEFAL INTENSE PURE AIR. Доставка была быстрой, разобрались в инструкции тоже легко. В принципе для однокомнатной квартиры хватает более чем. Качество отличное, давно доверяем этой марке. Хочу отметить, что воздух действительно становится чище, я даже перестала наконец-то чихать. Теперь главное вовремя менять фильтры, очень довольны!
Отличный магазин.
24.05.2017 в 12:19
Лидия
положительный
Заказывали сдесь воздухоочиститель, привлекла модель PHILIPS HU 5931. Он одновременно очищает и увлажняет воздух. Доставили достаточно быстро, оплачивали на месте, курьеру. При нем же проверяли исправность и работоспособность. Очень довольны приобретениемё ведь здоровье дороже, а в большом городе тем более. Лучше один раз потратиться, чем потом дышать пылью и мучиться.
Чистый воздух
24.05.2017 в 12:11
Роман
положительный
Чистый воздух - это залог здоровья. Мы себе покупали в этом магазине фильтр - AirFree Lotus. выбор свой сделали исходя из дизайна и объема обслуживаемой площади. Наш заказ нам доставил курьер на следующий день. Фильтр отличный, работает как часы, и смотрится очень оригинально, особенно вечером, когда включена подсветка. В целом покупкой и магазином мы довольны.
всё супер)
24.05.2017 в 12:05
Анна
положительный
Заказали на этом сайте воздухоочиститель Philips AC 4004/02. Когда в доме появился маленький ребёнок, мы задумались сразу над покупкой воздухоочистителя. Этот магазин мне посоветовал сослуживец, также покупал у них воздухоочиститель. Понравилась быстрая доставка, подкупило и то, что предоплата не понадобилась,доставили всё в целости и сохранности, работает без нареканий уже полгода.
ыф
23.05.2017 в 12:07
орр
положительный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s e g(x) = P? k=0 ?e({s}k)x k . Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi f?(x)g(x) = 1 +X ? k=1 (I{s}k ? I{s}k (?))x k . (2.13) I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa g(x) = 1f0(x) = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k 1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k , Bk = (?1)uh?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k 1 (ph?1 ? ph) uh?1+uh?k . Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+ uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio ec ieo X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj · 1 (nh?1 + ph?1) k · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 . Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u l 0 = l ? 1, m 0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl). Anee P~t (z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai- iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m0?w(~t) P . Oae eae D uh?1+uh?k P Ak ? Z, oi D m?w(~t) P (Ak · P~t (z)) ? Z[z], ?oi e o?aaoaony. Auniou P~t (z) ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 . Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain- oiayo u X h?1 k=1 Ak + X uh k=1 Bk ! · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 u X h?1 k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k + X uh k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k ! ? (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6m2 m?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47 Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe- oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t (z) aaeyo D m?w(~t) P . Auniou iiiai?eaiia P~s(z) enoiaiie noiiu a neo?aa Pl j=1 pj 1 ia i?aainoiayo X l j=1 pj ? 1 ! · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 + 2 · 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 = X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . A neo?aa Pl j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei- ?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l) oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia- ?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia oaia?u iieiinou? aieacaia. Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai- iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea- cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai- oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1 aieacuaaaony aaoiiaoe?anee. Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea X ? n1=1 z n1?1R1(n1) n X 1+?1 n2=1 R2(n2)· · · nl?X 1+?l?1 nl=1 Rl(nl), aaa ?j oaeua iaio?eoAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s e g(x) = P? k=0 ?e({s}k)x k . Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi f?(x)g(x) = 1 +X ? k=1 (I{s}k ? I{s}k (?))x k . (2.13) I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa g(x) = 1f0(x) = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k 1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k , Bk = (?1)uh?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k 1 (ph?1 ? ph) uh?1+uh?k . Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+ uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio ec ieo X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj · 1 (nh?1 + ph?1) k · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 . Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u l 0 = l ? 1, m 0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl). Anee P~t (z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai- iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m0?w(~t) P . Oae eae D uh?1+uh?k P Ak ? Z, oi D m?w(~t) P (Ak · P~t (z)) ? Z[z], ?oi e o?aaoaony. Auniou P~t (z) ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 . Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain- oiayo u X h?1 k=1 Ak + X uh k=1 Bk ! · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 u X h?1 k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k + X uh k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k ! ? (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6m2 m?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47 Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe- oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t (z) aaeyo D m?w(~t) P . Auniou iiiai?eaiia P~s(z) enoiaiie noiiu a neo?aa Pl j=1 pj 1 ia i?aainoiayo X l j=1 pj ? 1 ! · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 + 2 · 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 = X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . A neo?aa Pl j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei- ?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l) oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia- ?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia oaia?u iieiinou? aieacaia. Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai- iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea- cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai- oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1 aieacuaaaony aaoiiaoe?anee. Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea
Лохотрон
23.05.2017 в 10:19
Vlad
отрицательный
Лохотрон. Привлекательные цены на все, но все равно будут впаривать FINAIR. По другим придет СМС что нет на складе. Что такое FINAIR никто не знает, похоже коробка с вентилятором. Манагер нес полнейшую пургу, когда переходил к деталям этого финского чуда ))
7НГД
15.05.2017 в 10:58
ОНРОР
нейтральный
Aaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s e g(x) = P? k=0 ?e({s}k)x k . Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi f?(x)g(x) = 1 +X ? k=1 (I{s}k ? I{s}k (?))x k . (2.13) I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa g(x) = 1f0(x) = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k 1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k , Bk = (?1)uh?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k 1 (ph?1 ? ph) uh?1+uh?k . Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+ uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio ec ieo X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj · 1 (nh?1 + ph?1) k · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 . Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u l 0 = l ? 1, m 0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl). Anee P~t (z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai- iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m0?w(~t) P . Oae eae D uh?1+uh?k P Ak ? Z, oi D m?w(~t) P (Ak · P~t (z)) ? Z[z], ?oi e o?aaoaony. Auniou P~t (z) ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 . Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain- oiayo u X h?1 k=1 Ak + X uh k=1 Bk ! · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 u X h?1 k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k + X uh k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k ! ? (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6m2 m?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47 Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe- oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t (z) aaeyo D m?w(~t) P . Auniou iiiai?eaiia P~s(z) enoiaiie noiiu a neo?aa Pl j=1 pj 1 ia i?aainoiayo X l j=1 pj ? 1 ! · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 + 2 · 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 = X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . A neo?aa Pl j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei- ?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l) oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia- ?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia oaia?u iieiinou? aieacaia. Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai- iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea- cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai- oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1 aieacuaaaony aaoiiaoe?anee. Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea X ? n1=1 z n1?1R1(n1) n X 1+?1 n2=1 R2(n2)· · · nl?X 1+?l?1 nl=1 Rl(nl), aaa ?j oaeua iaio?eoAaca eiaoeoee, l = 0, neaaoao ec ii?aaaeaiey iii?anoaa M0 = {n1 n2 · · · nm 1} ?e(s1, s2, . . . , sm) = X M0 1 n s1 1 · · · n sl l . Aiea?ai ?aaainoai (2.10) aey l m, a i?aaiiei?aiee, ?oi iii aa?ii aey l ? 1. Ni?aaaaeeau neaao?uea au?a?aiey aey iii?anoa Ml?1 e Ml Ml?1 = Nl ? {nl nl+1 1}, Ml = Nl ? {nl+1 nl 1}. 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 30 Ion?aa iieo?aai ?aaainoai aey iii?anoa Ml?1 = NlMl e, aaeaa, ?aaai- noai aey ?yaia X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X Nl 1 n s1 1 · · · n sl l ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sl , sl?1, . . . , s1) · ?e(sl+1, sl+2, . . . , sm) ? X Ml 1 n s1 1 · · · n sl l . Neaaiaaoaeuii, ?e(s1, s2, . . . , sm) = X l?1 k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)l?1 X Ml?1 1 n s1 1 · · · n sl l = X l k=1 (?1)k?1 · ?(sk, sk?1, . . . , s1) · ?e(sk+1, sk+2, . . . , sm) + (?1)lX Ml 1 n s1 1 · · · n sl l , ?oi e o?aaiaaeinu aieacaou. I?e l = m ? 1 ?aaainoai (2.10) ?aaiineeuii ooaa??aaie? oai?aiu, oae eae X Mm?1 1 n s1 1 · · · n sl l = ?(sm, sm?1, . . . , s1). Oai?aia aieacaia. Ia?aeaai oaia?u e aieacaoaeunoao iaiauaiey ?aaainoaa (2.7). Iii ao- aao ai iiiaii iioi?a ia aieacaoaeunoai Aaneeuaaa ?aaainoaa (2.6) a [2]. Iai iio?aaoaony ianeieuei aniiiiaaoaeuiuo eaii. Ionou s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Ii?aaaeei ?enea rj = Pj i=1 si e iiiai?eaiu Q0 = 1, Qk(z) = 1 ? zx1 · · · xr1?1 + zx1 · · · xr1 ? . . . ? zx1 · · · xrk?1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk(1). 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 31 Eaiia 2.7 Auiieiyaony ?aaainoai Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?eiaiei oai?aio 2.1 e ai = 1, bi = 2 Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk(z) = Z [0,1]rk dx1dx2 · · · dxm Qk j=1(1 ? zx1 . . . xrj ) . A yoii oi?aanoaa ono?aiei z e aaeieoa e ainiieucoainy eaiiie 2.5. ?anniio?ei naiaenoai eioaa?aeia I? = 1, Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk , ? 0. Neaanoaea 2.3 Auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk = Is1,s2,...,sk (0) = ?e(s1, s2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. Yoi ia?aoi?ioee?iaea eaiiu 2.7. Neaanoaea 2.4 Ionou ana sj 1. Oiaaa auiieiyaony ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1). Aieacaoaeunoai. Eiaai ?aaainoai ? d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = Z [0,1]rk ? ln(1 ? Qk) Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk+1 dx0dx1 · · · dxrk 1 ? x0Qk Aicii?iinou aeooa?aioe?iaaiey ii ia?aiao?o ? aaao ?aaiiia?iay noi- aeiinou eioaa?aea Z [0,1]rk ln(1 ? Qk)(1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk . 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 32 i?e ? 0. Oaia?u naaeaai a eioaa?aea caiaio xrk > 1 ? xrk e i?aanoa- aei 1 ? x0Qk(x1, x2, . . . , 1 ? xrk ) a aeaa (aiaaaeyy e au?eoay iaeioi?ua neaaaaiua) 1 ? x0 + x0x1 ? x0x1 + x0x1x2 ? · · · ? x0x1 · · · xr1?2 + x0x1 · · · xr1?1 ? x0x1 · · · xr1 + x0x1 · · · xr1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xr2?2 + x0x1 · · · xr2?1 . . . ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk?1+1 ? · · · ? x0x1 · · · xrk?2 + x0x1 · · · xrk?1 ? x0x1 · · · xrk?1 + x0x1 · · · xrk e i?eiaiei eaiio 2.7. Neaanoaea aieacaii. Aaaaai ??(s1, s2, . . . , sl) = X n1n2···nl1 1 (n1 + ?) s1 · · ·(nl + ?) sl , aaa s1 1, s2, . . . , sk iaoo?aeuiua ?enea. Yoio ?ya ?aaiiia?ii noiaeony i?e ? 0. Eaiia 2.8 I?e sj 1 auiieiyaony ?aaainoai Is1,s2,...,sk (?) = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). (2.11) Aieacaoaeunoai. Eiaai oi?aanoai Qk(x1, x2, . . . , xks) = 1 ? x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk )). Aey e?aoeinoe iaicia?ei Q0 = Qk?1(xs1+1, xs1+2, . . . , xrk ). ?acei?ei a iiauioaa?aeuiii au?a?aiee 1Qk ii noaiaiyi 1 ? Qk (aioo?e eoaa ei- oaa?e?iaaiey 0 Qk 1) Is1,s2,...,sk (?) = Z [0,1]rk (1 ? Qk) ? Qk dx1 · · · dxrk = Z [0,1]rk X ? n=0 (1 ? Qk) n+? dx1 · · · dxrk 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 33 = X ? n=0 Z [0,1]rk (x1 · · · xs1?1(1 ? xs1Q 0 ))n+? dx1 · · · dxrk . Oae eae (1?Qk) n+? iaio?eoaoaeuii, oi aicii?iinou ia?anoaiiaee eioaa?a- ea e noiiu aa?aioe?oaony oai?aiie Ooaeie (ni, iai?eia?, [14, aeaaa V, § 6, Oai?aia 5 e caia?aiea e iae]). Oai?aia Ooaeie aiai?eo i ia?anoaiiaea aaoo eioaa?aeia (Eaaaaa), iaiaei aaneiia?io? noiio ii?ii i?aanoaaeou a aeaa ianianoaaiiiai eioaa?aea X ? n=0 an = Z ? 0 f(t) dt, aaa f(t) = an i?e t ? [n, n + 1). I?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui x1, x2, . . . , xs1 . Is1,s2,...,sk (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 Z [0,1]rk?s1 1 ? (1 ? Q0 ) n+? Q0 dxs1+1 · · · dxrk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 Is2,s3,...,sk (n + ?). (2.12) Aoaai aieacuaaou ooaa??aaiea eaiiu ii eiaoeoee. I?iaa?ei aaco aey k = 1 Is1 (?) = X ? n=1 1 (n + ?) s1 = ??(s1). I?aaiiei?ei, ?oi ooaa??aaiea eaiiu aieacaii aey k ? 1, aiea?ai aai aey k. Iianoaaeyy a (2.12) aianoi Is2,s3,...,sk (n + ?) au?a?aiea, aa?iia ii i?aaiiei?aie? eiaoeoee, iieo?aai Is1,s2,...,sk (?) = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X ? n=1 1 (n + ?) s1 X k?1 j=1 (?1)j?1 ?n+?(sj+1, sj , . . . , s2)Isj+2,sj+3,...,sk = ??(s1)Is2,s3,...,sk ? X k?1 j=1 (?1)j?1 ??(sj+1, sj , . . . , s1)Isj+2,sj+3,...,sk = X k j=1 (?1)j?1 ??(sj , sj?1, . . . , s1)Isj+1,sj+2,...,sk , 2.4 I?iecaiayuea ooieoee aey cia?aiee acaoa-ooieoee 34 ?oi, o?eouaay neaanoaea 2.3, e aieacuaaao eaiio. Oai?aia 2.7 I?e sj 1 aa?ii ?aaainoai ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1) = X k j=1 (?1)j?1X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1)?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Aieacaoaeunoai. I?iaeooa?aioe?oai ii ? ?aaainoai (2.11) e iianoaaei ? = 0 d d? [Is1,s2,...,sk (?)] ?=0 = X k j=1 (?1)j?1 d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 ?e(sj+1, sj+2, . . . , sk). Ii neaanoae? 2.4 eaaay ?anou ?aaia ??e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?2, 2, {1}sk?2, 1), a ec ii?aaaeaiey ??(sj , sj?1, . . . , s1) e aa ?aaiiia?iie noiaeiinoe i?e ? 0 neaaoao, ?oi d d? [??(sj , sj?1, . . . , s1)] ?=0 = ? X j l=1 sl?(sj , sj?1, . . . , sl + 1, . . . , s1). Ioeoaa iieo?aai ooaa??aaiea oai?aiu. Ec oai?aiu 2.7 i?e k = 1 neaaoao, ?oi ?e(2, {1}s?1) = s?(s + 1), a i?e k = 2, ?e(2, {1}s1?2, 2, {1}s2?1) = s1?(s1 + 1)?(s2) ? s2?(s2 + 1, s1) ? s1?(s2, s1 + 1) = s1?(s1 + s2 + 1) + s1?(s1 + 1, s2) ? s2?(s2 + 1, s1). A neo?aa ?aaiuo sj (ionou sj = s aey e?aiai j) oaaaony iin?eoaou i?aao? ?anou aey e?auo k. Oai?aia 2.8 I?e iaoo?aeuiuo k, s 2 auiieiyaony ?aaainoai ?e({2, {1}s?2}k, 1) = s?(sk + 1). 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 35 Aieacaoaeunoai. ?anniio?ei i?iecaiayuea ooieoee f?(x) = X ? k=0 (?1)k ??({s}k)x k = Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s e g(x) = P? k=0 ?e({s}k)x k . Ec eaiiu 2.8 neaaoao, ?oi f?(x)g(x) = 1 +X ? k=1 (I{s}k ? I{s}k (?))x k . (2.13) I?e ? = 0 iieo?aai f0(x)g(x) = 1, ioeoaa g(x) = 1f0(x) = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 e iu, n iiiiuu? neaanoaey 2.3, iieo?aai oai?aio 2.5. I?iaeooa?aioe?oai oi?aanoai (2.13) ii ? e iianoaaei ? = 0. Iieu- coynu neaanoaeai 2.4, iaoiaei X ? k=1 ?e({2, {1}s?2}k, 1)x k = g(x) d d? [f?(x)]?=0 = Y ? j=1 1 ? x j s ?1 d d? Y ? j=1 1 ? x (j + ?) s # ?=0 = X ? j=1 1 1 ? x j s sx j s+1 = X ? k=1 s?(sk + 1)x k . 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa- cia?aiee E?aoiua acaoa-cia?aiey aeoeaii eco?a?ony, iaiaei aieuoeinoai ?a- coeuoaoia i?aanoaaey?o niaie ?acee?iua oi?aanoaa ia?ao yoeie cia?a- ieyie. A yoii ?acaaea iu einiainy eo a?eoiaoe?aneeo naienoa. N?aae anao aaeoi?ia n iaoo?aeuiuie eiiiiiaioaie auaaeei neaao?- uea iii?anoaa B = {~s si ? {2, 3}}, Bw = {~s ? B w(~s) = w}. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 36 Oiooiai ([33]) auaaeioe neaao?uea aeiioacu. Aeiioaca 1. I?e e?aii ~s0 cia?aiea ?(~s0) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie oi?iu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie io cia?aiee ?(~s), ~s ? Bw( ~s0) . Yoa aeiioaca auea i?iaa?aia aey ~s0 n aanii 6 16. Aeiioaca 2. Ana cia?aiey ?(~s), ~s ? B e 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Anee aeiioaca 2 aa?ia, oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu ec aeiioacu 1 aaeinoaaiii. Ec yoeo aaoo aeiioac neaaoao, ?oi ?acia?iinou eeiaeiiai i?ino?ainoaa, ii?i?aaiiiai e?aoiuie acaoa-cia?aieyie aana w ?aaia dw, aaa ?enea dw ii?aaaey?ony i?iecaiayuae ooieoeae X ? w=0 dwx w = 1 1 ? w2 ? w3 . Oae eae ?({2}k) = ? 2k(2k + 1)!, oi yoe cia?aiey e??aoeiiaeuiu (e aa?a eeiaeii iacaaeneiu iaa Q ia?ao niaie e 1). Oae?a, ii oai?aia Aia?e, e??aoeiiaeuii ?enei ?(3). Ioiineoaeuii a?eoiaoe?aneeo naienoa ?(~s) i?e a?oaeo ~s ? B ieeaeie ii?aaaeaiinoe iiea iao. Ionou eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ia?aoii. Anee ?(~s0)?(2k) i?aanoaa- eyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+2k (a oae e aie?ii auou ii aeiioaca 1), oi neaai- aaoaeuii n?aae yoeo ?enae anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Iai?eia?, anee ?(2, 3) ? Q eee ?(3, 2) ? Q, oi iaii ec ?enae ?(3, 2, 2), ?(2, 3, 2) e ?(2, 2, 3) e??aoeiiaeuii. Aiaeiae?ii, anee eaeia-oi ?(~s0) ? Q, w(~s0) ?aoiia e ?(~s0)?(3) i?aanoaaeyaony a aeaa eeiaeiie eiiaeiaoee n ?aoei- iaeuiuie eiyooeoeaioaie ?enae ?(~s), ~s ? Bw( ~s0)+3, oi n?aae ieo anou oioy au iaii e??aoeiiaeuiia. Aaeaa iu aiea?ai iaeioi?ue ?acoeuoao i eeiaeiie iacaaeneiinoe e?aoiuo acaoa-cia?aiee. Eaiia 2.9 Ionou x ? Q, ?enea yi , i = 1, . . . , k oaeea, ?oi 1, y1, .. . , yk eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Oiaaa nouanoao?o k ?1 ?enae ec xyi , ?oi 1, x e iie eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 37 Aieacaoaeunoai. Aoaai aieacuaaou io i?ioeaiiai. Ionou ?enea 1, x, xyi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu iaa Q. O.a. nouanoao?o oaeea oaeua A1, B1 e C1i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe?, ?oi A1 + B1x + X k?1 i=1 C1ixyi = 0. Anee A1 = 0, oi iiaaeea yoi ?aaainoai ia x, iieo?ei, ?oi 1 e ?enea yi , i = 1, . . . , k ?1 eeiaeii caaeneiu, ?oi ii oneiae? ia oae. Anee au ana C1i = 0, oi x auei au ?aoeiiaeuiui. Neaaiaaoaeuii, nouanoaoao p ? [1, k ?1], ?oi C1p 6= 0. Ionou oaeua A2, B2 e C2i , ia ?aaiua iaiia?aiaiii ioe? oaeiau, ?oi A2 + B2x + X 16i6k,i6=p C2ixyi = 0. Aiaeiae?ii, A2 6= 0. Oiii?ei ia?aia ?aaainoai ia A2 e au?oai aoi?ia ?aaainoai, oiii?aiiia ia A1. Iieo?ei (iieaaay C1k = 0, C2p = 0) (B1A2 ? B2A1)x + X k i=1 (C1iA2 ? C2iA1)xyi = 0. Iiaaeei yoi ?aaainoai ia x. Oiaaa iieo?ei eeiaeio? oi?io io 1, yi , i?e- ?ai eiyooeoeaio i?e yp aoaao ?aaai C1pA2 6= 0, i?ioeai?a?ea n eeiaeiie iacaaeneiinou? 1 e ?enae yi . Eaiia aieacaia. Neaanoaea 2.5 I?e e?aii iaoo?aeuiii l ?enea 1, ?(3) e eaeea-oi l ?enae ec ?(3)?(2k), k = 1, . . . , l + 1 eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. A eaiia 2.9 aicuiai x = ?(3), yk = ?(2k). Ec yoiai neaanoaey auoaeaao a?oaia Neaanoaea 2.6 Anee Mw - iii?anoai aaeoi?ia aana w oaeeo, ?oi ana e?aoiua acaoa-ooieoee aana w au?a?a?ony ?aoeiiaeuiui ia?acii ?a- ?ac ?(~s), ~s ? Mw, oi nouanoao?o l oaeeo aaeoi?ia ~ti ?aciiai aana, i ? {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ? Mi , ?oi 1, ?(3) e ?enea ?(~ti) eeiaeii iacaaene- iu iaa Q. 2.5 A?eoiaoe?aneea naienoaa e?aoiuo acaoa-cia?aiee 38 Ii aeiioaca 1 a ea?anoaa Mw ii?ii acyou Bw. Anee oae, oi dimQ(Q ? M ~s?B3?···?B2l+5 Q?(~s)) l + 2. Oae?a, i?aaeaii, dimQ(Q ? M ~s?B2?···?B2l Q?(~s)) l + 1. Neaanoaea 2.7 Nouanoaoao oaeia ~s0 ? {(2, 3),(3, 2),(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}, ?oi ?enea 1, ?(3) e ?(~s0) eeiaeii iacaaeneiu iaa Q. Aieacaoaeunoai. I?eiaiei neaanoaea 2.6 i?e l = 1, auae?ay M5 = {(2, 3),(3, 2)} e M7 = {(2, 2, 3),(2, 3, 2),(3, 2, 2)}. Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu 39 Aeaaa 3 ?acei?aiey e?aoiuo eioaa?aeia a eeiaeiua oi?iu O?a eeanne?aneei ?acoeuoaoii yaeyaony i?aanoaaeaiea aeia?aaiiao- ?e?aneiai eioaa?aea Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 (1 ? zx1x2 . . . xm) a0 dx1dx2 . . . dxm i?e iaoo?aeuiuo ai , bi a aeaa Pm s=0 Ps(z ?1 ) Lis(z) (ni., iai?eia?, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Caanu e aaeaa eiyooeoeaiou i?e (iaia- uaiiuo) iieeeiaa?eoiao a ?acei?aiee eioaa?aeia iiiai?eaiu n ?a- oeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie. A ?aaioao [20], [21] A.I. Ni?ieei ii nouanoao aieacae oi?aanoaa Z [0,1]3 x n 1 (1 ? x1) nx n 2 (1 ? x2) nx n 3 (1 ? x3) n (1 ? zx1x2) n+1(1 ? zx1x2x3) n+1 dx1dx2dx3 (3.1) = P2,1(z ?1 ) Le2,1(z) + P1,1(z ?1 ) Le1,1(z) + P1(z ?1 ) Le1(z) + P?(z ?1 ) e Z [0,1]2l Q2l i=1 x ai?1 i (1 ? xi) n Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . x2j ) n+1 dx1dx2 . . . dx2l (3.2) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 40 = X l k=0 Pk(z ?1 ) Li{2}k (z) +X l?1 k=0 Tk(z ?1 ) Li1,{2}k (z), aaa a2j?1 = a2j = (l + 1 ? j)(n + 1) ? ?, 0 6 ? 6 l 6 n. Nouanoaiaaiea oaeiai ?acei?aiey auei iieacaii n iiiiuu? aii?ieneiaoee Iaaa. A aaiiie aeaaa iu eco?ei iaiauaiea yoeo oaeoia, a eiaiii ?acei?a- iea eioaa?aea S(z) = Z [0,1]m Qm i=1 x ai?1 i (1 ? xi) bi?ai?1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) cj dx1dx2 . . . dxm, 0 = r0 r1 r2 · · · rl = m. a eeiaeiua oi?iu io iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia. Aoaoo eniieuciaaou- ny neaao?uea iaicia?aiey. Aoaai ienaou, ?oi ~u 6 ~v, anee aeeiu yoeo aaeoi?ia ?aaiu e ui 6 vi i?e e?aii i = 1, . . . , l(~u) = l(~v). Iaciaai aaeoi? ~u iia?eiaiiui aaeoi?o ~v, anee ~u 6 ~v eee ~u 6 v~0 aey iaeioi?iai aaeoi?a v~0 , iieo?aiiiai ec aaeoi?a ~v au?a?eeaaieai ianeieueeo eiiiiiaio a i?i- ecaieuiuo ianoao. Aunioie iiiai?eaia iaciaai iaeneioi iiaoeae aai eiyooeoeaioia. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia Eaiia 3.1 Iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Les1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie ia- ai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z). Aieacaoaeunoai. Ecaanoii, ?oi iaiauaiiua iieeeiaa?eoiu Lis1,s2,...,sn (z) n ?acee?iuie iaai?aie eiaaenia eeiaeii iacaaeneiu iaa C(z) (ni. [37], [23]). Iaai?u ooieoee {Le~s(z)} e {Li~s(z)} n w(~s), ia i?aainoiayuei iaei- oi?iai oeene?iaaiiiai ?enea e oii?yai?aiiuo ii aic?anoaie? aeeiu ~s, naycaiu i?aia?aciaaieai c aa?oiao?aoaieuiie iao?eoae n iaioeaauie aeaaiiaeuiuie yeaiaioaie (ni. [23, ioieo 3]) Le~s(z) = Li~s(z) +X ~t Li~t (z), 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 41 aaa aaeoi?a ~t a noiia eia?o oio ?a aan, ?oi e ~s, ii iaiuoo? aeeio. Ioeoaa e neaaoao eeiaeiay iacaaeneiinou Le~s(z) iaa C(z). Neaanoaea 3.1 Anee ooieoey f(z) eiaao i?aanoaaeaiea a aeaa eiia?- iie noiiu P ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), P~s(x) iiiai?eaiu, oi yoi i?aanoaaeaiea aaeinoaaiii. Ii?aaaeei eiaaen ?aoeiiaeuiie ooieoee R(x) = P(x) Q(x) eae I(R) = deg P ? deg Q. Ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)· · · Rl(?l) io ianeieueeo ia?aiaiiuo niiinoaaei aaeoi? ec eiaaenia (I(R1), . . . , I(Rl)). Oai?aia 3.1 Ionou aey ooieoee R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1). . . Rl(?l) au- iieiyaony ia?aaainoai I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l e ana iie?na Rj ea?ao a iii?anoaa {0, ?1, ?2, . . . }. I?e yoii iaicia?ei mj iaeneiaeuiue ec ii?yaeia yoeo iie?nia, p e P niioaaonoaaiii ieieiaeuiia e iaeneiaeuiia cia?aiey aanie?oiuo aaee?ei iie?nia anao ooieoee Rj . Oiaaa i?e z ? C, z 1 noiia X n1n2...nl1 R(n1, n2, . . . , nl)z n1?1 (3.3) i?aanoaaeyaony a aeaa X ~s P~s(z ?1 ) Le~s(z), (3.4) aaa noiie?iaaiea aaaaony ii aaeoi?ai ~s, oaiaeaoai?y?uei oneiae? ~s 6 (m1 ? m2 ? · · · ? ml), aaa '' icia?aao eeai caiyoo?, eeai ie?n i?e eaeii-eeai eo ?ani?aaaeaiee (a ?anoiinoe, aoaoo auiieiyouny ia?a- aainoaa l(~s) 6 l e w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml), a P~s(x) iiiai?eaiu n ?aoeiiaeuiuie eiyooeoeaioaie oaeea, ?oi ord z=0 P?(z) 1, ord z=0 P~s(z) p + 1 i?e ~s 6= ?, deg P~s(x) 6 P + 1. Aiiieieoaeuii, anee auiieiy?ony ia?aaainoaa I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rj ) + j 6 ?1, j = 1, . . . , l, (3.5) oi P~s(1) = 0, aey aaeoi?ia ~s n s1 = 1. 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 42 Aiea?ai aia?aea neaao?uo? eaiio. Eaiia 3.2 Ionou l iaoo?aeuiia ?enei e oai?aia 3.1 aa?ia aey ooie- oee R(?1, ?2, . . . , ?r) = R1(?1)· · · Rr(?r) i?e r l (a neo?aa l = 1 ieeaeeo i?aaiiei?aiee ia o?aaoaony). Oiaaa oai?aia aa?ia aey R(?1, ?2, . . . , ?l) = R1(?1)R2(?2). . . Rl(?l), Rj (x) = 1 (x+pj ) uj . Oneiaea (3.5) a yoii neo?aa ?aa- iineeuii u1 2. Auniou iiiai?eaiia P~s ia i?aainoiayo max(l! · (w(~u)2w(~u) ) l?1P l , 1) (3.6) e D w(~u)?w(~s) P P~s(z) ? Z[z]. Aieacaoaeunoai. O?aaoaony aieacaou oai?aio 3.1 aey noiiu X n1n2...nl1 z n1?1Y l j=1 1 (nj + pj ) uj , (3.7) i?e?ai min 16j6l pj = p, max 16j6l pj = P. Oaeea noiiu aoaai aaeaa iacuaaou yeaiaioa?iuie. Ionou r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Eniieucoy eaiio 2.1, au?a?aiea (3.7) ii?ii caienaou a aeaa eioaa?aea I(p1, p2, . . . , pl) = Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. I?iaaaai eiaoeoe? ii aaee?eia p1 + p2 + · · · + pj . I?e yoii iiea?ai oieuei, ?oi noiia (3.7) i?aanoaaeia a aeaa (3.4), oae eae a ea?aii ec ?acae?aaiuo neo?aaa iao?oaii i?ineaaeou ca noaiaiyie iiiai?eaiia, a oae?a ca ia?aie?aieai ia aaeoi?a iieo?a?ueony iaiauaiiuo iieeeiaa- ?eoiia. Aaca eiaoeoee (p1 = p2 = · · · = pl = 0) neaaoao ec eaiiu 2.2 I(0, 0, . . . , 0) = z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). ?anniio?ei neo?ae pj 0 aey e?aiai j = 1, . . . , l. Ec ?aaainoaa x1x2 . . . xrl = 1 ? (1 ? zx1x2 . . . xrl ) z neaaoao, ?oi I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 43 ?z ?1 Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj?1 Ql?1 j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. A iineaaiai eioaa?aea i?ieioaa?e?oai ii ia?aiaiiui xrl?1+1, xrl?1+2, . . . , xrl e iieo?aiiue eioaa?ae ?acei?ei a noiio ii eaiia 2.1 I(p1, p2, . . . , pl) = z ?1 I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) ? z ?1 · 1 p ul l · X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ? 1)uj . Eioaa?ae I(p1 ? 1, p2 ? 1, . . . , pl ? 1) i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii i?aa- iiei?aie? eiaoeoee, a au?eoaaiay noiia i?aanoaaeyaony a aeaa (3.4) ii oneiae? eaiiu (iia caaeneo io l ? 1 ia?aiaiiie). Oaeei ia?acii ii?ii n?eoaou p = min 16j6l pj = 0. Ionou oaia?u ph 0 i?e iaeioi?ii h 1. Caieoai ?aaainoai (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph = (xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 +(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph (1 ? zx1x2 . . . xrh?1 ) ?(xrh?1+1xrh?1+2 . . . xrh ) ph?1 (1 ? zx1x2 . . . xrh ), ec eioi?iai neaaoao I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) + Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) pj Ql j=1 j6=h?1 (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm ? Z [0,1]m Ql j=1(xrj?1+1xrj?1+2 . . . xrj ) p 0 j Ql j=1 j6=h (1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm, aaa p 0 j = pj i?e j 6= h e p 0 h = ph ? 1. Eniieucoy eaiio 2.1, ia?aieoai yoi ?aaainoai eae I(p1, p2, . . . , ph, . . . , pl) = I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) (3.8) 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 44 + X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.9) ? X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?1 j=1 1 (nj + pj ) uj ? 1 (nh + ph ? 1)uh(nh + ph+1) uh+1 · Y l?1 j=h+1 1 (nj + pj+1) uj+1 (3.10) A neo?aa h = l au?eoaaiay noiia auaeyaeo eae 1 p ul l X n1n2...nl?11 z n1?1Y l?1 j=1 1 (nj + pj ) uj E I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) i?eiaieii i?aaiiei?aiea eiaoeoee, a aaa a?oaea noiiu ii oneiae? eaiiu i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). Inoaaony aieacaou ooaa??aaiea eaiiu aey eioaa?aea I(p1, 0, . . . , 0) = Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1 Ql j=1(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm. Ec ?aaainoaa (x1x2 . . . xr1 ) p1 = z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 ?z ?1 (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 (1?zx1x2 . . . xr1 ) neaaoao I(p1, 0, . . . , 0) = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 Z [0,1]m (x1x2 . . . xr1 ) p1?1 Ql j=2(1 ? zx1x2 . . . xrj ) dx1dx2 . . . dxm = z ?1 I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ? z ?1 X n1...nl?11 z n1?1 1 (n1 + p1 ? 1)u1n u2 1 Y l?1 j=2 1 n uj+1 j , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 45 Au?eoaaiay noiia ii oneiae? eaiiu, a I(p1 ? 1, 0, . . . , 0) ii i?aaiiei- ?aie? eiaoeoee, i?aanoaaey?ony a aeaa (3.4). I?aanoaaeaiea a aeaa (3.4) oaia?u iieiinou? aieacaii. Ia?aeaai oaia?u e ioaiea aunio e a?eoiaoe?aneei naienoaai eiyo- oeoeaioia iiiai?eaiia P~s(z). Ooaa??aaiea, eioi?ia iu aoaai aieacu- aaou ii eiaoeoee, iaiiiai aieaa no?iaia, ?ai ooaa??aaiea eaiiu auniou P~s(z) ia i?aainoiayo max X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 , 1 ! . Yoi ioaiea aaenoaeoaeuii aieaa oi?iay, ?ai (3.6), oae eae Pl j=1 pj 6 l · P. Aieacaoaeunoai i?iaaaai eiaoeoeae ii aaeoi?o (l, p1 + p2 + · · · + pl). Aaeoi?a (l, k) iu oii?yai?eaaai a eaeneeia?aoe?aneii ii?yaea, o.a. (l1, k1) (l2, k2) ? l1 l2 eee l1 = l2 e k1 k2. Aaca eiaoeoee ni?aaaaeeaa anee pj = 0 aey anao j, oi enoiaiay noi- ia ?aaia z ?1 Leu1,u2,...,ul (z). Ionou oaia?u nouanoaoao pj 0 (a cia?eo e P 0). Oiaaa i?iaaeaai oa ?a naiua i?aia?aciaaiey, ?oi auee auoa (iaiiiiei, ?oi i?aanoaaeaiea a aeaa eeiaeiie oi?iu (3.4) aaeinoaaiii ii neaanoae? 3.1). A ea?aii ec o?ao neo?aaa aieacaoaeunoaa aiaeiae?iu, iiyoiio ?acaa?ai oieuei aoi?ie neo?ae (eiaaa ph 0 i?e h 1). ?anniio?ei iia?iaiaa noiio (3.9). Anee ph?1 = ph, oi 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = 1 (nh?1 + ph?1) uh?1+uh , o.a. noiia (3.9) naia yaeyaony yeaiaioa?iie e e iae ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiee eiaoeoee. A yoii neo?aa auniou iiiai?eaiia P~t (z) a a? ?acei?aiee ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2P l?1 , a iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m?w(~t) P . Anee ph?1 6= ph, oi ?anniio?ei neaao?uaa ?acei?aiea a noiio i?inoaeoeo a?iaae 1 (nh?1 + ph?1) uh?1 (nh?1 + ph) uh = u X h?1 k=1 Ak (nh?1 + ph?1) k + X uh k=1 Bk (nh?1 + ph) k , 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 46 Ak = (?1)uh?1?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k 1 (ph ? ph?1) uh?1+uh?k , Bk = (?1)uh?k uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k 1 (ph?1 ? ph) uh?1+uh?k . Iianoaaeyy yoi ?aaainoai a (3.9), iu i?aanoaaei (3.9) a aeaa noiiu uh?1+ uh yeaiaioa?iuo noii (n eiyooeoeaioaie Ak e Bk), e ea?aie ec eioi?uo ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. ?anniio?ei eaeo?-oi iaio ec ieo X n1n2...nl?11 z n1?1 h Y?2 j=1 1 (nj + pj ) uj · 1 (nh?1 + ph?1) k · Y l?1 j=h 1 (nj + pj+1) uj+1 . Ae niioaaonoao?o neaao?uea ia?aiao?u l 0 = l ? 1, m 0 = m + k ? uh?1 ? uh, ~p0 = (p1, . . . , ph?2, ph?1, ph+1, . . . , pl). Anee P~t (z) iiiai?eaiu ?acei?aiey a eeiaeio? oi?io io iaiauai- iuo iieeeiaa?eoiia, oi iauee ciaiaiaoaeu eiyooeoeaioia P~t (z) aaeeo D m0?w(~t) P . Oae eae D uh?1+uh?k P Ak ? Z, oi D m?w(~t) P (Ak · P~t (z)) ? Z[z], ?oi e o?aaoaony. Auniou P~t (z) ia i?aainoiayo (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 . Neaaiaaoaeuii, auniou iiiai?eaiia a ?acei?aiee noiiu (3.9) ia i?aain- oiayo u X h?1 k=1 Ak + X uh k=1 Bk ! · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 u X h?1 k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh?1 ? k + X uh k=1 uh?1 + uh ? k ? 1 uh ? k ! ? (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6(uh?1 + uh)2uh?1+uh?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6m2 m?2 · (l ? 1)! · (m2 m) l?2 · P l?1 6 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . 3.1 Iauay oai?aia i ?acei?aiee e?aoiuo eioaa?aeia 47 Noiia (3.10) ?anniao?eaaaony aiaeiae?ii, a e eioaa?aeo I(p1, p2, . . . , ph ? 1, . . . , pl) ii?ii i?eiaieou i?aaiiei?aiea eiaoeoee. Aey anao o?ao neaaaaiuo (3.8), (3.9), (3.10) a eeiaeiie oi?ia (3.4) ciaiaiaoaee eiyooe- oeaioia iiiai?eaia i?e Le~t (z) aaeyo D m?w(~t) P . Auniou iiiai?eaiia P~s(z) enoiaiie noiiu a neo?aa Pl j=1 pj 1 ia i?aainoiayo X l j=1 pj ? 1 ! · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 + 2 · 1 2 · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 = X l j=1 pj · (l ? 1)! · (m2 mP) l?1 . A neo?aa Pl j=1 pj = 1, aaeoi?a iaiauaiiuo iieeeiaa?eoiia ec ?acei- ?aiey noii (3.9) e (3.10) eia?o aeeio iaiuoa l, a a ?acei?aiee I({0}l) oieuei iaei iieeeiaa?eoi aeeiu l, o.a. iii?anoaa iieeeiaa?eoiia ia ia- ?anaea?ony e ioaiea ia auniou a yoii neo?aa oae?a ni?aaaaeeaa. Eaiia oaia?u iieiinou? aieacaia. Caia?aiea. Ii?ii auei au aieacuaaou i?aanoaaeaiea (3.4) aac ai- iieieoaeuiiai i?aaiiei?aiey i oii, ?oi oai?aia 3.1 aa?ia aey ooieoee R, caaenyueo io iaiaa ?ai l ia?aiaiiuo, ii oie ?a noaia, eae iu aiea- cuaaee ooaa??aaiea i aunioao e a?eoiaoe?aneeo naienoaao eiyooeoeai- oia iiiai?eaiia. Iaiaei aeaaiaa?y yoiio i?aaiiei?aie?, ooaa??aaiea i oii, ?oi a neo?aa u1 2 auiieiyaony ?aaainoai P~s(1) = 0 i?e s1 = 1 aieacuaaaony aaoiiaoe?anee. Iaciaai ?-noiiie au?a?aiea X ? n1=1 z n1?1R1(n1) n X 1+?1 n2=1 R2(n2)· · · nl?X 1+?l?1 nl=1 Rl(nl), aaa ?j oaeua iaio?eoaoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea [?Pj , ?pj ] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie- iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0. Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii aoaeuiua ?enea, iie?na Rj ea?ao ia io?acea [?Pj , ?pj ] e yaey?ony oaeuie ?eneaie e aey e?aiai j = 1, . . . , l auiie- iyaony I(R1) + I(R2) + · · · + I(Rl) + j 6 0. Eaiia 3.3 E?aay ?-noiia F i?aanoaaeyaony a aeaa eiia?ii
ЛОХОТРОН FINAIR F7
12.05.2017 в 22:57
Дмитрий
отрицательный
Купил данный очиститель воздуха в интернет магазине http://freshvozdux.ru/ в описании написано, что он состоит из 3 фильтров (Honeycomb Filter System, HEPA 14, Угольный фильтр) в реалии Какой-то бумажный и непонятно что. Одним словом развод . ЛОХОТРОН ! ДЕНЬГИ НЕ ВОЗВРАЩАЮТ.
, являются обязательными для заполнения.